线性代数——平面向量 学习笔记
首发于洛谷。
定义及用语说明
无特殊说明,下文的向量均指自由向量且是平面向量。
向量,英文名为 vector,目前没有准确而统一的中文翻译。
在物理学科,一般翻译成「矢量」,且与「标量」一词相对。
在数学学科,一般直接翻译成「向量」。对于向量的乘法:
物理 | 数学 | 直译 | 俗称 |
---|---|---|---|
标量积 | 数量积 | 内积 | 点积 |
矢量积 | 向量积 | 外积 | 叉积 |
物理和数学上的用语采用了意译的方法,分别表示运算的结果为标量和矢量。
在数学学科,通常也可以翻译成「内积」和「外积」,是两个名词的直译。
而「点积」和「叉积」是根据运算符号得来的俗称,这种俗称也很常见。
本文采用「点积」和「叉积」的表达方法,大概因为作者读过一篇不大正统的文章。
在数学学科,一般没有说明的话,或者省略了运算符,向量的乘法默认为点积,即标量积。
说了这么多,其实,对于平面向量,只存在点积而不存在差积(x)
在考虑三维向量(或高维向量)之前,只需要考虑点积就可以了。
定义和基本符号
一、有向线段
带有方向的线段称为有向线段。有向线段的三要素为:起点、方向、长度。
根据初等几何,那么只要知道这三要素,这个有向线段就已经被确定了,也就是终点可知。
从另一个角度思考,也可以认为是知道起点、重点,就可以唯一的确定一个有向线段。
一个有向线段由其两个端点表示,记为 (overrightarrow{AB}) 或 (vec{a}),同时我们记其长度,称为向量的模。
二、向量
既有大小又有方向的量称为向量。这个定义很抽象,我们逐个分解。
我们已经有了有向线段,但是实际应用中,大部分时候,向量的位置并不重要。
于是我们将有向线段的起点不固定,将一个有向线段抽象为一个可以随意移动的量。
此时,你也许发现了。有向线段其实可以再次表示为,起点和一个向量。
我们通常把向量表示在平面直角坐标系内,没有说明的情况下,起点通常标在坐标轴原点。
我们取这个向量在横、纵坐标上延伸的长度作为两个元素,将向量记为 ((a,b))。
那么我们就得出了向量的几何意义,即向量 ((a,b)) 表示向右走 (a)、向上走 (b) 的位移。
三、向量的模
对于一个向量 (vec a),有向线段
(vec a) 的长度称为向量的模,即为这个向量的大小。
符号表示为 (|vec a|) 或 (|overrightarrow{AB}|) ,根据勾股定理,我们知道 (|vec a|=|(x,y)|=sqrt{x^2+y^2})。
四、特殊的向量
零向量:模为 (0) 的向量,零向量的方向任意(不过其实是无意义)。一般记为:(vec 0)。
单位向量:模为 (1) 的向量称为单位向量。一般记为 (vec e),最常见的单位向量就是基向量。
基向量:(vecimath=(1,0)) 表示 (x) 方向的单位向量,(vecjmath=(0,1)) 表示 (y) 方向的单位向量。
平行向量:方向相同或相反的两个非零向量。记作: (vec xparallel vec y)。
共线向量:任一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以平行向量又叫共线向量。
相等向量:模相等且方向相同的向量。相反向量:模相等且方向相反的向量。
向量的运算
一、向量的数乘
我们规定实数 (lambda) 与向量 (vec a) 的积为一个向量,称为向量的数乘运算,记作 (lambdavec a)。
我们定义 (lambdavec a=lambda(x,y)=(lambda x,lambda y))。据此,我们可以得出以下向量数乘常用的结论:
- (|lambda vec a|=|lambda||vec a|);
- 当 (lambda >0) 时,(lambdavec a) 与 (vec a) 同向;
- 当 (lambda =0) 时,(lambda vec a=vec 0);
- 当 (lambda 时,(lambda vec a) 与 (vec a) 方向相反。
根据数乘的定义,可以得出向量的数乘满足交换律、结合律、分配率等。
二、向量的线性运算
注意,向量的数乘本质上也属于向量的线性运算,不过我把他们分开,方便理解。
下面讨论向量的加法,类比的,向量的减法可以从公式入手理解。
类比物理中的位移,从 (A) 经 (B) 到 (C),那么经过的位移等价于直接从 (A) 到 (C)。
符号表示即:(overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}),其实这个也就是三角形法则所表述的。
同时,注意到力的合成法则(平行四边形法则),同样也可以看做向量的相加。
因此,我们得出向量相加的两个运算法则,即三角形法则、平行四边形法则:
- 三角形法则:首尾顺次相连,和为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;
- 平行四边形法则:向量共起点,和为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线,
起点为两个向量共有的起点,方向沿平行四边形对角线方向。
这样,向量的加法就具有了几何意义。并且向量的加法满足交换律与结合律。
然后从几何的角度可以推出一些公式,其中三角形法则的公式比较简单,如下:
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向量的点积
点积的概念对于任意维数的向量都适用。
已知两个向量 (vec a,vec b) ,它们的夹角为 (theta),那么这两个向量的点积为:
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其中,我们称 (|vec a|cos theta) 为 (vec a) 在 (vec b) 方向上的投影。
点积的几何意义即为:点积 (vec a cdot vec b) 等于 (vec a) 的模与 (vec b) 在 (vec a) 方向上的投影的乘积。
另外,我们定义向量点积数值上表示为(简记为先相乘再相加):
]
可以发现,这种运算得到的结果是一个标量,并不属于向量的线性运算。
在不引起混淆的情况下,点积的点号可以省略不写。
互相垂直的两个向量的点积,结果为 (0)。向量与零向量点积,结果为 (0)。
常见方法
一、判定两向量垂直
根据 (cos 90^circ=0),(vec a perp vec b iff vec acdot vec b=0)
二、判定两向量共线
两个非零向量 (vec a) 与 (vec b) 共线,等价于,有唯一实数 (lambda),使得 (vec b=lambda vec a)。
由数乘的定义知,对于非零向量 (vec a),如果存在实数 (lambda),使得 (vec b=lambda vec a),那么 (vec a parallel vec b)。
数值上,有判别式 (vec a = lambda vec b iff |vec acdot vec b|=|vec a||vec b|)。
三、向量的坐标表示
已知两点 (A(a,b),B(c,d)),易证
(overrightarrow{AB}=(c-a,d-b))。
四、两向量的夹角
根据 (vec a cdot vec b=|vec a||vec b|cos theta),得两向量的夹角为:
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根据 (vec acdotvec b=(x_1,y_1)cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2),及 (|vec x|=|(a,b)|=sqrt{a^2+b^2}) 得:
]
Reference
[1] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/vector/
[2] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/product/
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