Gamma函数的一些分析
前言
最近在看数学的时候,看到了一个({Γ(s)})(Gamma Function),感觉很有意思,所以赶紧写下来,记录一下。
(Γ(x))的定义
(Γ(s)) = (int_0^{+infty}{e^{-x}x^{s-1}}dx),其中(s > 0)
看到这个定义,刚开始还是蛮头疼的,但是,后来随着对(Γ(s))函数的分析和理解逐渐深入,才感叹到这个函数的发现简直就是一项奇迹!
(Γ(s)的一些性质)
1. (Γ(s + 1) = sΓ(s))
证明如下:
(Γ(s + 1) = int_0^{+infty}{e^{-x}x^{s}dx})
=(int_0^{+infty}{x^{s}d{(-e^{-x})}})
=(-x^{s}e^{-x}|_0^{+infty}) + (sint_0^{+infty}{e^{-x}x^{s-1}}dx)
=0 + (sΓ(s))
故得证
2.(Γ(p)Γ(1-p)=frac{pi}{sin{pi}p}),(0 也称之为余元公式
值得提一点的是,余元公式是一个十分重要的公式,但是几乎所有的数学分析教材(包括高等数学,高等数学教材中几乎没有提及)都只是坐累简单的介绍,大部分都没有给出详细的证明,另一方面,余元公式在概率积分,欧拉公式,含参量广义积分的计算和证明都有应用。下面便对余元公式做出简单的证明。
证明如下:
引理1
对于(0 , (int_0^{+infty}{frac{y^{p-1}}{1+y}dy} = frac{1}{p} + sum_{k=1}^{+infty}{(-1)^{k}{(frac{1}{p+k} + frac{1}{p-k})}})
引理2
若(0 , 则(sum_{k=1}^{+infty}{(-1)^{k}{(frac{1}{p+k} + frac{1}{p-k})}}=frac{sin{ppi} – ppi}{psinppi})
(because{B(p,q)=int_0^1{x^{p-1}{(1-x)^{q-1}dx}}},其中(p,q > 0))
(therefore{设x=frac{y}{1+y}},其中y>0,则)
(B(p,q)=int_0^{+infty}{frac{y^{p-1}}{{(1+y)}^{p+q}}dy}) (~–(1))
(frac{Γ(p)Γ(1-p)}{Γ(1)} = B(p, 1-p) 且Γ(1)=1)
(therefore)由引理1和引理2即可得到余元公式
(Γ(p)Γ(1-p) = B(p, 1-p) = int_0^{+infty}{frac{y^{p-1}}{1+y}}dy = frac{pi}{sinppi})
(Γ(s))与阶乘的关系
(because{Γ(s)=sΓ(s-1)})
通过这个递推公式可以知道,(Γ(s)=sΓ(s-1)=s(s-1)Γ(s-2)=…=s!)
这就解释了这张图片的来源,图片来自知乎用户travorlzh
结语
其实,(Γ(s))函数还有很多有意思的形式,其中包括与欧拉公式的联系,在复数域上的形式等等,后续如果有机会
(好像网络中的尽力交付😂),对其一些其余性质还是会记录下来的
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